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中国古代数学九章算术

近代著名科学家伽利略曾提到“自然这本大书是用数学的语言写成的。”数学不仅在人类探索宇宙和研究自然的过程中起到了重要的作用，而且作为一种生产工具和认识世界的方法论。在人类社会的不同时期，对社会的发展和进步都起了至关重要的作用。而我国的数学应用，从出土的甲骨文来看，最迟当在殷商时期已有数字应用的记载了。

从原始社会的结绳计数到算术、几何、再到微积分，都包含了人类共同智慧的结晶。而《九章算术》就是中国古代数学著作中最为闪亮的一颗星。

中国古代数学基本以《九章算术》为核心，它一直是人们学习数学的重要教科书。十六世纪以前的中国数学著作，从成书方式来看，大都沿袭《九章算术》的体例。在历代先贤的不断学习、引用和完善下，其日渐完备，并逐渐形成我国古代初等数学的体系。为日后我国数学知识体系的不断完善与发展打下了坚实基础。

一、《九章算术》的出现

在春秋战国数学发展的基础上，秦汉时期出现了我国古代最早的一批数学专著，见于《汉书·艺文志》著录的《杜忠算术》和《许商算术》两部数学书，早已失传。现在传本的《九章算术》九卷在《汉书·艺文志》中则没有著录。班固的《汉书·艺文志》是依据刘歆的《七略》写成的，可知《九章算术》的编成当在刘歆《七略》之后，在公元五十年前后汉光武帝时的郑众解释《周礼》“九数”时，“勾股”的概念还没有被安排到“九数”内去，说明包含勾股章的《九章算术》的编成不会在公元50年之前。另外，《后汉书·马援传》说，他的侄孙马续“十六治诗，博观群籍，善《九章算术》。”马续是马融的哥哥，其生年约在公元70年前后，他研究《九章算术》大概是在公元90年前后。因此，《九章算术》的成书大约是在公元50年到100年之间。

《九章算术》是我国现有传本的古算书中最古老的数学著作，对后世历代数学的发展，影响很大。它的出现，标志着我国古代以算筹为工具，具有自己独特风格的数学体系的形成。

经过春秋战国到西汉中期数百年间政治、经济和文化的发展，《九章算术》比较系统地总结和概括了这段时期人们在社会实践中积累的数学成果。这一时期的社会变革和生产发展，给数学提出了不少急待解决的测量和计算的问题。比如，要实行按田亩多寡“履亩而税”的政策，就需要测量和计算各种形状的土地面积；要合理地摊派税收就需要进行各种比例分配和摊派的计算；建造大规模的水利工程、土木工程则需要计算各种形状的体积以及如何合理地使用人力、物力；商业、贸易的发展，也是需要解决各种按比例核算等问题；还有天文历法的精确推算等等。

《九章算术》正是由各类问题中，选出二百四十六个例题，按解题的方法和应用的范围分为九大类，每一大类为一章，编辑而成的。它所提供的数学解法，是为当时生产和科学技术的进一步发展，以及为封建政府计算赋税、摊派徭役等，提供了方便。

据数学史学者考证，我们现在所见到的《九章算术》虽大约成书于公元一世纪，但并不是一时一人之作，而是经由很多人的修改和补充，才逐渐发展完备起来的。《周礼》记载，授予贵族子弟的六门课程中有“九数”一项，所谓“九数”指的是数学分为九个细目。三国时代的刘徽曾为《九章算术》做过有名的注释工作，他在注《九章算术》的序言中说：“九数之流则九章是矣。”刘徽生活的时代，距《九章算术》成书的时代较近，他的话应是可信的，即战国时期的“九数”乃是《九章算术》的滥觞。刘徽还说：“汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目与古或异，而所论者多近语也。”这也说明在张苍之前已有“旧文”，而现存的《九章》是由张苍等人在“旧文”基础上增删而成。

由此可说明《九章算术》一书，是经过长时期由许多人删订增补才最后成书的，它是中国先秦至汉初许多学者共同工作的结晶。

《九章算术》首次提出并应用了“负数”

二、《九章算术》的地位及流传

从三国到唐代初年的几百年间，是《九章算术》流传史上的繁荣时期，期间一批杰出数学家可以说都是通过学习、研究《九章算术》而培养出来的。

中国的学者不同于西方学者喜欢自己著书立说，他们往往通过对现有典籍的注释来表达自己的思想。而对于《九章算术》的注释。三国时期的刘徽可能是给《九章算术》作注的第一个数学家，也是能够流传下来的最有名的注解。他所采用的方法是“析理以辞，解体用图”。就是说是用文辞和图形两种方法相结合对《九章算术》进行注释。现传的《九章算术》有刘徽的详细文字注释，且在文字中多次提到图形，但是没有一幅图形在书中。这些图形应该是在流传中被删去了，或是散逸了。

刘徽的《九章算术注》特别详细，很多地方注文远远超过原文，有些则形同独立的论文。其对于《九章算术》的完善大致有这几方面。首先是对名词术语进行了解释或给出了相当于定义的文字。其次他给几乎所有的计算公式或定理性的叙述进行了逻辑论证或说明道理。也对原文的个别部分和某些相关的问题进行了有理有据地分析批判，用辞犀利，切中要害。在此基础上，刘徽还提出了许多新概念、新思想和新方法。最后是对于前人的思想方法的吸收。这些前人的思想有些直接写进了注中，有些则把它发展、扩充为独立的篇章，如“重差”即为一例，他说：

徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美。辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于勾股之下。

就是说刘徽在原书九章之末又加了一章，因而刘徽注本《几章算术》为十章，这是其流传史上的第一次大变化。

刘徽之后，据史籍记载，为《九章算术》写过注解的还有著名数学家祖冲之等人，可惜这些注解都在漫长的历史海洋中遗失了。

可以说，南北朝时期，《九章算术》的流传已经相当广泛，它已成为时人学习数学的必读书。当时屡有出现以“九章”为名的数学著作。“九章”在南北朝这段时期在某种程度上已然成为了算学的代名词。

而到了隋唐时期，特别是唐代前期，《九章算术》由于被官方列为主要数学教科书而形成了第一个流传高峰。

在隋代，国家设置算学博士，为教授数学的国家教师。唐代因之，但教育规模上要比隋代大得多。为了教学的需要，李淳风、梁述、王真儒等“受诏注《五曹》、《孙子》十部算经，书成，唐高祖令国学行用。”

在这“十部算经”中《九章算术》是最重要的教材之一。这次注释是在刘徽的基础上进行的，大部分都是写在刘徽未注的地方。有部分为重新注解，或继续刘徽注阐释同一问题。在注中除对一些名词等的解释外，还有对刘徽注的一些改动。注中也包括不少新意和保留了一些有价值的史料，在数学史上有其重要性。

《九章算术》被列为国家“明算科”的教科书“十部算经”之一，不但肯定了其在中国数学史上的地位，而且在流传上也是有很大好处的。“明算科”的学生多则达三十几人，少则几人。它的历史也不是一二届，而是断断续续维持了一百多年，究竟有多少学数学的学生实无法统计，粗略估计恐不下一二百人。这些人大都是要学习《九章算术》的。但有时也把学生分为两组，一组学习《九章算术》，另一组不学，而且人数各占一半。就算如此，学习过《九章算术》的学生也要有半百左右。这些学生都得有书，就要出现几十部纸抄本《九章算术》，毕业后这些抄本便被带到了全国各地。由此可想见《九章算术》在唐代的流传之广。遗憾的是，这批纸抄本《九章算术》连一本也未保存下来。

《九章算术》不仅在国内大量流传。而且在唐代也传到了朝鲜、日本等邻国。日本来中国的人中，“遣唐使”对文化的交流起了主要作用。他们来中国的一个主要目的就是向中国学习先进文化，因此他们在中国生活、学习了一段时间回国后，把很多中国的文化、习俗等都带去了日本。作为大国先进文化的代表，对《九章算术》的学习、传播自然也包括其中。而当时的唐朝及附属国渤海也都有人不断去朝鲜和日本。这无疑也推动了《九章算术》的向外传播。

算筹

三、《九章算术》的数学思想及方法

一、《九章算术》具有天然的开放性和实用性。

《九章算术》的内容紧密联系实际，目的是解决人们生产、生活中遇到的数学问题。该书的一些章节直接与某些官员的职责相关。如“方田”章直接与“籍田令”(掌管耕种宗庙社稷之田的官员)的职责相关；“均输”章直接与“均输令”(掌管统一征收、买卖和运输货物的官员)的职责相关。“少广”章和“商功”章的部分内容直接服务于“符节令”和“钟官令”等官职。所以，《九章算术》所提供的数学方法是中国古代许多官员必备的技艺的一种。这就决定了其必然不断反映现实需要，回答实践中提出的各种数学问题，以开放的结构与时俱进、吐故纳新。

二、《九章算术》的算法化。

在实用思想指导下，古代中国人习惯于把问题数值化、离散化，利用具体的数值计算来解决一系列复杂的应用问题或理论问题。这种计算思想重视的是构造出可利用算筹计算的算法。中国传统数学实用性的特征，决定了它的发展是以解决实际应用问题和提高计算技术为其主要目标。

我国传统数学是沿着注重从实践经验中产生和发展数学的思维方式发展数学的，擅长于算。这与西方数学的道路是不同的。中国传统数学思想有着自己的渊源和模式。在初等数学领域之内，正是这种传统数学思想把我国数学推向世界的最高峰，许多国家与我国相比，望尘莫及。

中国传统数学本质上是一种构造性数学，数学对象及结果基本上均可由固定的演算程序经有限步骤得到，各种计算均依固定的演算程序进行，发展起一套程序化、机械化的算法体系。

《九章算术》的主要内容是“术”，而每一个“术”都是由带有具体数值的一些具体问题引出，“术”实际上是处理相应数值的算法，它可以在古代中国长期使用的计算工具——算筹上机械地进行，其中的很多算法甚至可以容易地转化成现代的计算机语言。

三、《九章算术》的模型化。

《九章算术》中大多数问题都具有一般性解法，是一类问题的模型，同类问题可以按同种方法解出。其实，以问题为中心、以算法为基础，主要依靠归纳思维建立数学模型，强调基本法则及其推广，是中国传统数学思想的精髓之一。

中国传统数学的实用性，要求数学研究的结果能对各种实际问题进行分类。对每类问题给出统一的解法，以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式，倾向于建立基本问题的结构与解题模式，一般问题则被化归、分解为基本问题解决。

由于中国传统数学未能建立起一套抽象的数学符号系统，对一般原理、法则的叙述一方面是借助文辞，一方面是通过具体问题的解题过程加以演示，使具体问题成为相应的数学模型。这既是中国古代数学区别于西方的重要特色，也是我国古代数学一直缺乏创新力的主要原因。故而对于此点，我们要辩证的看待和吸收、继承。

四、数形结合直觉把握

数和形是数学中最基本的原始概念，《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法。其表现为，用数的计算来解决形的研究的若干理论问题，如“方田”、“商功”章的种种平面图形和立体图形的求积问题，都用数的计算，即着重于考察图形中数的关系，算出确定的数值，来得出积与边、高、径长的关系。同时，也用形的直观来解释数的算法，如对“开方术”、“开立方术”等，为以图形作解释打下基础(实际的解释是刘徽完成的，借助于面积和体积的图解对开平方和开立方作了通俗易懂的说明。在刘徽的注文中，更是把它发展为“析理以辞、解体用图”这样一套系统方法)。

数形结合的思想有助于数学的各个领域的融会贯通，有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻、灵活，是现代数学教学中强调的基本数学思想之一。正如法国数学家拉格朗日所说：“当‘数’和‘形’分道扬镳的时候，数学的进展就缓慢，应用也有限。但是，一旦它们联袂而行，它们就互相从对方吸收新鲜的活力，从而大踏步地走向各自的完美。”

四、《九章算术》的影响

《九章算术》的内容包括了初等数学中算术、代数以及几何的相当大部分的内容，有着辉煌的成就，而且它形成了有自己特点的完整体系。这些特点就是：它重视理论，但不是那种严重脱离实际的理论，而在实际的计算方面具有很高的水平，有者一整套在当时世界上堪称是十分先进的算筹算法，用算筹的不同位置和不同摆法，不仅可以表示任意大的数目，而且可以表示一个方程的各次项系数或是表示一个方程组中各方程的系数，进一步又可以表示正数和负数。在数学命题的叙述方法上，也是从实际的问题出发，而不是从抽象的定义和公理出发。

这些特点，使得中国数学在许多重要方面，特别是在在用十进制解决实际问题以及在计算技术等方面的显著优点，远远胜过古希腊的数学体系。这也正是古希腊数学的欠缺之处。而中国缺乏的却是象古希腊《几何原本》那样严密逻辑的几何学和数学思想。对现代数学来讲，精密的计算和严密的证明理论同样都是不可缺少的。

中国古代数学的这些内容后来经过印度和阿拉伯等国家辗转传入了欧洲，对文艺复兴前后世界数学的发展，作出了应有的贡献。

如何学好算数

一、简单的计算，也要循序渐进地掌握让球

计算的学习是循序渐进的，人教版一年级算数的安排是这样分级的：

5以内加减法

10以内加减法

20以内进位加法

20以内退位减法

100以内加减法。具体又分为整十数加减整十数、两位数加一位数或整十数、两位数减一位数或整十数。两位数加减两位数是二年级的知识。

怎么样，作为大人，看起来是不是觉得很啰嗦？100以内的加减法都要分这么多级别来学？但是，当你真的跟着孩子一路辅导过来，你就会发现，这个设置是多么的科学！

科学的设置，还要辅以科学的方法。最高效的学习方法当然是“学少得多”，即把大部分时间精力用来学习其中的关键知识，然后再拓展到整体，达到以点带面、融会贯通的学习效果。

对于一年级甚至整个小学阶段来说，计算的重中之重就是10以内加法和20以内进位加法。

是的，你没看错，就是这么少！

二、10以内加减法

回头刚开始朋友的问题，一开始学算数就是要掰着手指头算的。不要小看这个过程，对于数这个抽象的概念，小朋友就是要通过肢体动作和肌肉记忆来慢慢理解和内化。这个过程看似笨拙，却对理解大有帮助。

先熟练掌握5以内的加减法，就是掰着手指数，数得多了，慢慢就理解了，然后开始背，5以内的分解和组成：

以3为例：3可以分成1和2、2和1；1和2组成3，2和1组成3。

然后是10以内的分解，6到9方法同上，10有专门的好朋友歌：

一九一九好朋友，二八二八手拉手，三七三七真亲密，四六四六一双手，五五凑成一双手。

去这样，让孩子熟练到看3想7，看2想8，看......，一旦达到这样的效果，10以内的加法就非常熟练了。

至于10以内的减法？加法都会了，减法还是问题吗？孩子不理解？拿数棒演示一下加法和减法的关系就好了。

10以内的分解和组成

三、20以内进位加法

20以内加减法的重点就是20以内的进位加法，用“凑十法”来掌握，举个例子：

凑十法

可以看出，考验的是10以内加减法的基本功：看9想1，6可以分解成1和5，答案就出来了。

一开始用破十法一步一步算，做的多了，速度就上去了。辅导孩子的过程中，我发现孩子容易卡壳和出错的是这几个算式：7+8=15、6+7=13、5+8=13。于是，我干脆直接让他背下来，他后来告诉我，自从我让他背下来之后，他做题就比较快了，关键是，还不出错。

对于你家孩子，你要观察他容易在哪个地方卡壳，就让他直接把那个算式背下来，形成机械记忆。

再次重申，减法是加法的变形，所以如果你家孩子算数不好，就把重点放在10以内加法和20以内进位加法的练习上。我家孩子现在每天一页口算，我不给加难度，还是做这些基础，因为我知道这是基础中的基础，重点中的重点。

20以内进位加法

总结一下，孩子刚学习算数时，家长切不可操之过急，总以为很简单，孩子应该一下子掌握，却不知，这些看似简单的计算却是数学大厦的根基，一开始要掌握的重点就是10以内加法和20以内进位加法，其它皆为延伸和变形。

复杂，是简单的变形，抓住重点，掌握核心，学少得多，孩子轻松，大人放松。

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